Ondalık Sayılar
“Ondalık’’ sözcüğü, “on tabanına dayalı” anlamına gelir. Sayıları yazmak için kullandığımız sistem de, on tabanına dayalı olan onlu sayı sistemidir. Pek çok ülkenin para sistemi on tabanına dayalıdır; bu tür para sistemlerine onlu para sistemi denir. Ölçümde kullanılan metre sistemi de bir onlu sistemdir.
Ondalık sayılar ise, ondalık kesirlerin rasyonel sayı biçimindeki açılımlarıdır. Bilindiği gibi ondalık kesirler, paydası 10 ve 10’un katları olan kesirlerdir. Ondalık sayı biçiminde yazılan kesirler de, doğal sayılar için kullanılan onlu sayı sistemi içinde yer alır.
Onlu sayı sistemindeki herhangi bir doğal sayı çeşitli basamaklardan oluşur. Örnek olarak
222 sayısını alalım:
Birler basamağından sola doğru gidildikçe, sayılar her basamakta 10 kat büyür. Birler basamağından sonra onlar basamağı gelir. Bu aynı zamanda, soldan (örneğin yüzler basamağından) sağa doğru gidildikçe, sayıların her basamakta 10 kat küçüleceği, yani 10’a bölünmüş olacağı anlamına da gelir. Böylece yüzler basamağından onlar basamağına, onlar basamağından birler basamağına geçilir. Ama birler basamağında durmamıza hiç gerek yoktur. Sayıyı bir kez daha ona bölersek onda birler'i elde ederiz.
Doğal sayılardan kesirlere geçtiğimizi göstermek için, ikisini ayıracak bir işarete gereksinmemiz vardır. Bu işarete ondalık işareti denir. İngiltere ve ABD gibi ülkelerle bütün hesap makinelerinde kullanılan ondalık işareti cümle bitimlerindeki gibi bir noktadır. Öbür ülkelerin çoğunda ve Türkiye’de ise virgül kullanılır (örneğin kırk dört tam onda dört sayısı 44,4 biçiminde gösterilir). Bu ansiklopedide de ondalık işareti olarak virgül kullanılmıştır.
Sağa doğru her geçişte basamak değeri 10’a bölünür. Onda birlerden sonra yüzde birler, daha sonra binde birler gelir ve bu böylece sürer gider.
Demek ki, örneğin 0,625 ondalık kesrinde 6 onda bir, 2 yüzde bir ve 5 binde bir vardır. Eğer bu ondalık kesri bir bayağı kesir biçiminde yazmak istersek, sayılan ondalıkları toplamamız gerekir.
Bu, ondalık kesri bayağı kesre çevirmenin bir yoludur, ama en iyisi değildir. Daha basit bir yöntem vardır: 625.000'i 625 bin ve 625.000.000'u 625 milyon biçiminde okuyabiliriz. Aynı biçimde, 0,625'i de binde 625 olarak okuyabiliriz.
Bunu sadeleştirirsek, gene 5⁄8 sonucunu buluruz.58
Bu ikinci yönteme göre 0,0375 ondalık kesrini bayağı kesre çevirmek istersek, bunu on binde 375, yani 375/10000 biçiminde yazar ve sadeleştiririz.
Bayağı kesirleri ondalık kesirlere çevirmek için de bu yöntemin tersini uygulayabilirdik; ama bu her zaman o kadar kolay değildir. Örneğin, 3⁄4 kesrini ele alalım. Önce bunun, onda, yüzde, binde gibi, paydasında 10’un herhangi bir katının yer aldığı bir eşdeğer kesrini bulmamız gerekir. Bazı kesirlerin bu koşulu sağlayan eşdeğerlerini hemen kestirebilirsiniz. Ama bazıları için, bunu buluncaya değin uzun bir eşdeğer kesirler listesi çıkarmak zorunda kalabilirsiniz.Ama bu uzun bir zaman alır. Belki burada, 4’ün tam katlarından birinin 100 olduğunu hemen görerek paydaya 100 yazılabileceğini söyleyebilirsiniz; 100, 4'ün kaç katıysa, onunla da 3’ü çarpıp 3A bayağı kesrini ondalık kesir olarak yazabilirsiniz: ¾ = 75/100 = 0,75
Bu yöntem bazı bayağı kesirlerde işe yarayabilir, ama bazıları için hiçbir işe yaramaz. Örneğin, 1⁄3 için kullanılamaz; çünkü 10, 100, 1.000 gibi 10’un hiçbir katı 3’e tam olarak bölünmez. Bu tür sayılarla karşılaşıldığında ancak yaklaşık bir sonuç elde edilir:
⅓ = 3⅓ / 10 = 33⅓ / 100 = 333⅓ /1000
ve bu böylece sürer gider. Demek ki ⅓, yaklaşık olarak 0,3 ya da 0,33 ya da 0,333 biçiminde yazılabilir. Eğer 3’lerin eklenmesi sürdürülürse, giderek doğru sonuca yaklaşılır.
Bu tür problemlerde bayağı kesri ondalık kesre çevirmek için daha kolay bir başka yöntemden yararlanılabilir. Bu yöntemde, ⅓'ün l’i 3’e bölmekle aynı anlama gelmesi olgusundan yararlanılır.
Öyleyse bütün yapacağımız l ’i 3’e bölmek ve sonucu ondalık sayı biçiminde yazmaktır. 1/3, l ’den küçük olduğu için, bulacağımız sonucun birler basamağında da 0 olacaktır. Şimdi l ’i 1,0 biçiminde yazıp onda 10 olarak okuyabiliriz. Onda 10, 3’e bölünürse 3 onda bir bulunur, geriye 1 onda bir kalır. Kalan 1 onda bir, 10 yüzde bir demektir. Bu da gene 3’e bölünürse, 3 yüzde bulunur, geriye 1 yüzde bir kalır.
Ondalık sistemin üstünlüğü, hesap yaparken hangi basamakta olduğumuzu (onda birler, yüzde birler, hatta milyonda birler de olsa) düşünmek zorunluluğunun bulunmamasıdır. Yapmamız gereken yalnızca, her seferinde elde kalan sayıyı alıp bir sonraki basamağa geçirmek ve 10 kat büyültmektir.
Yaptığımız bu hesaplama, “3, elde kalır l ”in sonsuza dek yinelenip gideceğini göstermektedir. Bu gibi durumlarda, bulunan sonuç söylenirken, “virgülden sonra gelen rakamın yinelendiği” belirtilir. Bu tür ondalık kesirlere yinelenen ondalıklar denir. Ele aldığımız örnekte bunu göstermek için virgülden sonra gelen ilk 3 yazılır ve tepesine bir nokta konur.
MATEMATİK maddesinde de anlatıldığı gibi, bazen virgülden sonra gelen bir grup rakam yinelenip gider. Bu gibi durumlarda grubun ilk ve son rakamları üzerine birer nokta konur. Örneğin 3/14’ü ondalık kesre çevirirsek şöyle bir sonuç ortaya çıkar: 0,2142857142857142…
Burada 142857 grubu yinelenip gitmektedir öyleyse sonucu: 0,2142857 biçiminde yazabiliriz.
Uygulamada ölçümler ya da benzeri amaçlar için ondalık kesirleri kullandığımızda, daha küçük basamakların değerini bilmemiz gerekmez. Eğer 3 metre uzunluğundaki bir tahta 14 parçaya bölünecekse, marangozun bizim bulduğumuz sonucu bilmesinin pratik hiçbir yararı yoktur; 3⁄14’ün yaklaşık olarak 0,214 ettiğini bilmek onun için yeterlidir; çünkü 0,214 metre 214 mm demektir. Özellikle de, testerenin kesme genişliğinin en az 1 mm olduğunu düşünürseniz, marangozun daha duyarlı bir ölçüme gereksinimi olmadığı daha iyi anlaşılır. Ama ondalık sistemin üstünlüğü, sonucu, gereksinim duyduğunuz doğrulukta bulabilmenize olanak vermesidir.
Matematikçilerin amacı her zaman pratik bir sonuca ulaşmak değildir; onun için, ondalık kesirlerde virgül sonrasındaki yinelenmelerin nasıl bir kalıba uyduğunu bilmek ister ler. Şu örnekleri ele alalım:
1/7= 0,142857
2/7 = 0,285714
3/7 = 0,428571
l ’den 6’ya kadar olan sayıların 7’ye bölümünde hep aynı rakam grubu ortaya çıkar. Yinelenen her grupta altı rakamın olması yalnızca bir rastlantı değildir!
13’e bölmede de buna benzer yinelenmeler görülür. 1/13 = 0,076923
Başka bazı sayılar da 13’e bölündüğünde, çıkan sonuçlar aynı rakam grubunu içerir; ama yinelenen grup her seferinde farklı bir rakamla başlar. Hesap makinenizi kullanarak siz de l ’den 12’ye kadar olan sayıların 13’e bölümünde nasıl bir yinelenme kalıbı ortaya çıktığını bulabilirsiniz.
MATEMATİK maddesinde 1⁄61’in eşdeğeri olan ondalık kesirde yinelenen rakam sayısının 60 olduğu gösterilmiştir. Hesap makinelerinin pek çoğu sayıların en çok 8 basamağını gösterir; bu yüzden, yinelenen gruptaki rakam sayısı bundan çok olduğunda grubu tek bir hesaplamada bulmak olanaksızlaşır. Ama gene de bu tür ondalık kesirlerin bulunmasında hesap makinelerinden yararlanılabilir.