Denklem
Denklem, İki niceliğin ya da ifadenin birbirine eşit olduğunu bildiren önerme. Söz gelimi, a = b denklemi, a ve b niceliklerinin birbirine eşit (denk) olduğunu bildirir; = simgesi de bu eşitliği gösterir. Bir denklemdeki ifadeler bazen özdeş olabilir. Sözgelimi, 3 = 1+2 denkleminde, 3 ve 1 + 2 her zaman eşdeğerlidir. Böyle bir önerme, özdeşlik diye adlandırılır ve üç çizgi ? simgesiyle gösterilir. Özdeşlik, 3d — e + 2 fde olduğu gibi, değişkenleri de içerebilir; ama ancak önerme, d, eve f değişkenlerinin bütün olası değerleri için doğruysa, bu bir özdeşlik olabilir. Tersi durumda, böyle bir önerme de, bütün öteki denklemler gibi, "koşullu denklem" ya da yalnızca "denklem"diye adlandırılır. Doğrusal (lineer) denklem, ax + b = 0 biçimindedir; burada a ve b, sayısal değişmezlerdir. Denklemin çözümü x = -b/a'dır. Bu, tek dereceli bir denklemdir, çünkü x değişkeninin en büyük üst sayısı 1 'dir. İkilenik (kuadratik) denklem,ax²+ bx + c = 0 biçimindedir. Bu, iki dereceli bir denklemdir, (çünkü x değişkeninin en büyük üst (ya da üstel) sayısı 2'dir. Denklemin, iki farklı çözümü, x = (-b ± Vb²-'4ac)/2a'yla sağlanır.
ÇOK TERİMLİ DENKLEMLER
Doğrusal ve ikilenik denklemler, başka dereceleri yada güçleri de kapsayan çok terimli (polinom) denklemlerin özel türleridir. Bunlar, verilen a/0,a1,....a/n değişmezleri için a/nx/n+a/n-1 x/n/1+...+a/0=0 biçiminde gösterilir.Temel cebir teoreminin belirttiğine göre, n derecesindeki bir çok terimli denklem, biçiminde çarpanlarına ayrılabilir.Burada sayıları nın her biri denklemin bir çözümü yada köküdür ve çok terimlinin a/0,...,a/n katsayılarının tümü gerçek sayı olmakla birlikte, kökler gerçek sayı ya da karmaşık sayı olabilir. Çarpanlarına ayrılan ifadede kök kaç kez tekrarlanıyorsa, denklemin o kadar katlı çözümü olur. Sözgelimi, ifade (x - 3)(x - 5)(x - 5) biçimindeyse, 3 sayısı, 1 katilliğinin (tekerrürünün), 5 sayısıysa 2 katilliğinin kökleridir. Katlılıklar ayrı kökler sayılırsa, temel cebir teoremine göre, n dereceli bir çok terimlinin n kadar kökü vardır.
Derecesi 1'den büyük olan çok terimli bir denklem, tek değişkenli ve genellikle f(x) = 0 biçiminde yazılan doğrusal olmayan bir denklem örneğidir. Belli bir doğrusal olmayan denklemin hiç çözümü olmayabilir, tek çözümü olabilir, sınırlı sayıda çözümü olabilir ya da sonsuz çözümü olabilir. Sözgelimimin üslü bir fonksiyon olduğu e/x=0 denkleminin çözümü yoktur; e*= 1'in tek çözümü vardır: x = 0; çokterimli bir denklemin sınırlı sayıda çözümü vardır; x = 0 denkleminin çözümleriyse sınırsız sayıdadır.
Bir denklemin çözümlü olması durumunda bile, bunların kesin olarak bulunması güç ya da olanaksız olabilir.Söz gelimi, 5. dereceden bir çok terimli denklem gibi basit bir denklem bile, temel rasyonel işlemlerle genellikle çözülemez; yalnızca yaklaşık çözümler elde edilebilir. En temel yaklaştırma tekniği, belki de Newton'ın yaklaştırma yöntemidir. Bu yöntemde, sözgelimi f(x) = 0 denklemi için yinelemeli işlemler uygulanır ve doğruluğu her yinelemeyle birlikte artan yaklaştırmalar elde edilir.
DENKLEM SİSTEMLERİ
Birkaç bilinmeyeni olan denklem sistemleri, f, (x,...., x/n)= 0, i= 1, ...,n biçimindedir; burada fi'ler verilmiş fonksiyonlar, xi'lerse bilinmeyenlerdir. Denklemlerin doğrusal olduğu özel durumda, denklemler, kolaylık sağlamak için Ax = b matris-vektör biçiminde yazılır; burada A, aij, katsayılarının matrisi; b, (b,,..., b/n) vektörü de, bilinmeyenlerin vektörüdür. Yalnızca A belirteci sıfır değilse, Ax = b sisteminin tek bir çözümü vardır; bu durumda A matrisinin tekil olmadığı söylenir. Belirteç sıfırsa, denklem sisteminin ya hiç çözümü yoktur ya da sınırsız sayıda çözümü vardır. Denklemler doğrusal değilse, durum çok daha karmaşıktır ve çözümlerin varlığı ve tekliği konusundaki kuramlar, çok özel durumlar dışında, oldukça azdır. Denklem sistemleri çok çeşitli bağlamlarda ve uygulamalarda ortaya çıkar; istatistikte bağıntı ve gerileme, yapıların sonlu öğe analizi, bilinmeyen bir fonksiyonun türevleriyle ilgili ilişkiler olan diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümü buna örnek verilebilir.